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1757年，以拉格朗日为首的一批科学家，在意大利成立了一个数学协会，这是都灵皇家科学院的前身。
1770年，拉格朗日证明了任意正整数可表为四个平方数之和。
1770年，拉格朗日出版了《关于方程代数解的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations），这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换，这项工作导致了群论。
1771年，拉格朗日证明了威尔逊定理（首先由华林（Waring）提出但未给出证明），即n是素数当且仅当(n - 1)!+ 1被n整除。
1780年，拉格朗日因为研究行星对彗星轨道的扰动的工作获得了法国科学院的最高奖。
1785年，拉格朗日开始了关于椭圆函数和椭圆积分的工作。
1788年，拉格朗日出版了《分析力学》（Mécanique analytique）。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作，拉格朗日将力学转化为数学分析的一个分支。
1797年拉格朗日出版了《解析函数论》。它是第一本研究单变量实变函数理论的论文。它使用现代记号，例如dy/dx表示导数。
拉格朗日法国数学的状态，能不能依靠数学挣钱？
拉格朗日受到拿破仑重用后，都明白是他的数学和物理学十分的好。
拉格朗日也确实被人建议过，数学也能成为一个可以赚钱的产业。
但是历史上没有过这样的事情。就算学者们关心数学，也不可能是直接能拿数学知识卖钱的，能想到的顶多是当老师罢了。
但拉格朗日知道数学能卖钱是当老师的意思，而是需要一个有用的创新，推动社会的发展。大家都要善于解决数学问题的热情和能力。这才是数学真正的目的。
这种目的就像是点子公司，想出好的办法解决问题，以此赚钱。
最重要的是，数学家以此赚钱的核心就是卖出自己的知识产权，如果是产权，那就是别人用到的时候，就需要给自己付钱。这就是引用费。
达朗贝尔对拉格朗日说了自己关于对牛顿第二定律的不同理解，朗格朗日也有了自己的新看法。
达朗贝尔说：“我的虚功虚位移都是为了解释静力学的平衡问题的。”
拉格朗日说：“我找到了一个新的方程，把虚功虚位移给结合起来了。”拉格朗日说得就是拉格朗日方程。
达朗贝尔看到拉格朗日方程写的是：L=T-V。开始问：“L是以你自己名字命名的，那T代表什么？V又代表什么？”
拉格朗日说：“说T代表的是系统的动能，V代表系统的势能。”
达朗贝尔说：“你的这个拉格朗日系统L是研究什么的？”
拉格朗日说：“我研究的就是系统的作用力。”
达朗贝尔说：“像我的风格，不过，你如何去研究系统中每个点的力呢？”
拉格朗日说：“里面各个质点的坐标也是广义坐标，里面受到的力也是广义的力。”一边说着，一边写出一个关于广义坐标的二阶微分方程组。继续说：“想知道系统运动规律，则需要对方程进行积分。”
达朗贝尔说：“坐标被动量表示，动量又被坐标表示。感觉互相循环了。”
拉格朗日说：“对于仅仅有广义坐标导数的循环坐标，积分也是循环积分。”
达朗贝尔说：“或许这就是未来的力学，三体问题都无法很好的解决，所以不要指望会有质点力学的精细分析。”
