第二百九十三章 拉普拉斯-贝尔特拉米算子（微分算子）（1/1）

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贝尔特拉米说：“我们需要开始正视一个重要问题。”

贝尔特拉米对自己的学生开始解释，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面。学生津津有味的听着，觉得这是非欧几何学中必然要经历的最重要的一步，让贝尔特拉米算子在曲面中计算。

贝尔特拉米解释道体积形式的时候，学生意识到不对劲。

“我一直听到体积形式这样的东西，我认为你在强调它，你是不是需要解释一下。”学生明显的感受到贝尔特拉米那种不可思议的气氛，总觉得需要细细的去推敲这个意思。

贝尔特拉米对学生说：“对于不同的坐标，我们当然认为对体积的定义是十分重要的。”

学生说：“要是这样的话，我何尝不知道，但你不仅仅是这个意思。貌似有一个可怕的念头从我脑中闪过！”

贝尔特拉米想逗逗这个学生：“我讲的也算简单了吧，你还不懂什么？”

“在推广到高维的体积中，是不是我们需要注意一些更重要的东西。这就是你提到的体积的形式，你还用强调的语气提到了这个，不仅仅是曲面几何的问题。这里面有一个更重要的意思。”

学生说话有点久到了语无伦次的样子。

贝尔特拉米也觉得已经吊足胃口，该是给学生好好解释一个问题了。

“好的，你跟其他学生不同，你很不俗。”说罢，贝尔特拉米开始在黑板上写东西。

学生一开，贝尔特拉米画了杨辉三角的图。

然后贝尔特拉米对学生说：“你知道四维空间的单形应该是什么样子了吧。”

学生说：“根据三维空间里的四面体，我知道你想说的是，有五个点，10条线，10个面。”

贝尔特拉米兴奋道：“然后呢？”

学生说：“你的意思是有5个体？”

“然后往下说。”

学生感觉这个突破了自己的三观，就说：“这个现实生活中没有把，我们叫什么名字，叫它有一个超体积？一种四维形式的体积？”

贝尔特拉米说：“这是一个比体积还有体积的高维的东西，而且随着维度的增加，这些超级形的体积都会出现的。”

学生说：“因为他们在数学中存在，只是人类无法感知到而已。”

“没错。”

“那我们如何应对这个东西，如果是超体积，假如是四维体积，边都相互垂直，边长是a、b、c、d，那么体积就是abcd这么大对吧！”

“太对了，你已经学会了。”

“可是这个意义在哪里？这只是一个超体积而已，我们都感知不到它们是存在的。很多数学家会不小心把它们落下。”

“可是数学上存在的，就是存在的。这个以后一定会有用途，毕竟高维推广到了很多系统的研究上，难免会有超体分析这样的课题存在。你要善于去找和挖掘这样的用途才对。”

学生笑着说：“那这个的罪过，是来源帕斯卡三角这个自然而然的奇怪东西。”

贝尔特拉米严肃到：“不要小看这种数学上的自然而然，这个很重要。”

在微分几何中，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面，或更一般地黎曼流形与伪黎曼流形上，函数的算子。这个更一般的算子叫做拉普拉斯－贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）。

与拉普拉斯算子一样，拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义为梯度的散度。

这个算子作为共变导数的散度，可以延拓到张量上的算子。

或者，利用散度与外导数，这个算子可以推广到微分形式上的算子，所得的算子称为拉普拉斯－德拉姆算子（Laplace–de Rham operator）。