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G．曼诺利对布劳威尔说：“拓扑学对于结构的研究极其重要，试问哪个数学不要基本结构呢？数学的基础就是结构，所以数学的中心就是拓扑学。”
布劳威尔受到G．曼诺利的启发，开始有意识的培养自己理解拓扑学的能力。
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（荷兰语：L. E. J. Brouwer）。
在最初的领域中，这个结果与若尔当曲线定理、毛球定理和博苏克－乌拉姆定理一样，是少数刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理之一。
数学的中心是拓扑学，拓扑学的中心就是不动点。
布劳威尔深深的清楚，随着拓扑学的发展，对于拓扑的分类成为了一个重要问题。
布劳威尔与庞加莱开始讨论拓扑学的问题，说：“即使我们知道拓扑的本质是关于洞的问题，但是很多东西的拓扑学本质即使的存在的，我们也很难看出来，很难判断是什么形状的。”
庞加莱说：“看着很混沌，不容易判断，但是也不能一点根据都没有。”
布劳威尔说：“当然有根据，我们能够感觉到这种根据。”
庞加莱说：“你没办法去测量，你如何去描述这些复杂的形状，属于是那种类型的拓扑形状？”
布劳威尔说：“我感觉到，可以去寻找一些相对固定的点，以这个点的特征去区分各种种类的拓扑形状。”
庞加莱说：“固定的点？如何固定？”
布劳威尔说：“就是一个东西经过变化之后，其中有些点原来的点在位置上没有发生变化。”
庞加莱表示不明白。
布劳威尔说：“取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状，放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。”
庞加莱来了兴趣，笑着说：“你确定过了？有这种有趣的事情？”说罢，庞加莱找了两张一模一样的纸，合起来平铺在桌子上，把上面的那一张纸揉搓成一团，放在一张纸上。然后心里开始感觉，貌似至少一个点都还在原来位置的。
布劳威尔说：“如果你在大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。”
庞加莱说：“没错，确实如此，太好玩了。”
布劳威尔说：“如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的，也就是自转运动的不动点。”
庞加莱说：“你刚刚举出了二维的例子和三维的例子，看来这是一个普遍问题，难以从表面感知，但是却是真实存在的。”
布劳威尔定理在拓扑学中也有重要的地位。这个定理也被应用于证明各种微分方程的深入结果中，在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍。
即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域，例如博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用。
在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广：角谷静夫定理在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。后者是由诺贝尔奖获得者吉拉德·德布鲁和肯尼斯·阿罗在二十世纪五十年代发展起来的。
平面上：每一个从某个给定的闭圆盘射到它自身的连续函数都有至少一个不动点。
推广到任意有限维数的情况，就是：
欧几里得空间中：每一个从某个给定的闭球射到它自己的连续函数都有（至少）一个不动点。
一个稍微更一般化的结论是：
每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续函数都有（至少）一个不动点。
Schauder不动点定理：
每一个从一个巴拿赫空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续映射都有（至少）一个不动点。
