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林云看着这道题，再次拿起笔，在纸上开始分析。
首先，求函数z在区域D内的驻点。
分别对x和y求偏导数：
z_x = 3x^2 - 3y，z_y = 3y^2 - 3x。
令z_x = 0，z_y = 0，得到方程组：
\begin{cases}3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases}
由3x^2 - 3y = 0可得y = x^2，将其代入3y^2 - 3x = 0中，得到：
3(x^2)^2 - 3x = 0，即3x^4 - 3x = 0，提取公因式3x得3x(x^3 - 1)=0。
解得x = 0或x = 1。
当x = 0时，y = 0；当x = 1时，y = 1。所以函数z在区域D内有两个驻点(0,0)和(1,1)。
接着，求函数z在区域D边界上的最值。
边界x = 0（0\leq y\leq2）上，z = f(0,y)=y^3，z^\prime = 3y^2\geq0，所以z在[0,2]上单调递增，z(0)=0，z(2)=8。
边界y = 0（0\leq x\leq2）上，z = f(x,0)=x^3，z^\prime = 3x^2\geq0，所以z在[0,2]上单调递增，z(0)=0，z(2)=8。
边界x + y = 2（x\geq0，y\geq0）上，y = 2 - x，将其代入z = f(x,y)中得：
z = f(x,2 - x)=x^3 + (2 - x)^3 - 3x(2 - x)
展开并化简：
\begin{align*}
z&=x^3 + (8 - 12x + 6x^2 - x^3) - (6x - 3x^2)\\
&=x^3 + 8 - 12x + 6x^2 - x^3 - 6x + 3x^2\\
&=9x^2 - 18x + 8
\end{align*}
对z = 9x^2 - 18x + 8求导得z^\prime = 18x - 18，令z^\prime = 0，解得x = 1，此时y = 1，z(1)=9 - 18 + 8 = -1。
最后，比较驻点和边界上的函数值：
f(0,0)=0，f(1,1)=1 + 1 - 3 = -1，f(2,0)=8，f(0,2)=8。
所以函数z在闭区域D上的最大值为8，最小值为-1。
林云完成了解题过程，再次拍照上传到群里。粉丝们看到答案后，又是一阵惊叹和夸赞。
“云宝，你简直就是数学大神啊，这解题过程太详细了！”
“跟着云宝学数学，感觉数学都变得简单了。”
“云宝，你是不是偷偷去数学系进修了，这水平绝了！”
林云看着群里的消息，笑着回复道：“大家别夸啦，我就是把自己的思路分享给大家，一起进步嘛。数学其实很有趣，只要掌握了方法，就能发现其中的乐趣。”
在接下来的时间里，林云继续和粉丝们在群里交流着数学知识和学习经验。他的耐心解答和专业分析，让粉丝们对他的崇拜又加深了几分。而林云也在这个过程中，收获了满满的快乐和成就感。他没想到，自己曾经热爱的数学，在这个粉丝群里，能成为连接他和粉丝们的桥梁，让彼此在知识的海洋里共同探索，共同成长。
